Makalah Matematika Minat Kelas 10 Semester 1

PEMBAHASAAN

EKSPONEN
Pengertian Eksponen
Eksponen merupakan perkalian bilangan yang sama secara berulang. Sebagai contoh, jika kita mengalikan angka 7 secara berulang sebanyak 4 kali, yaitu 7×7×7×7, kita dapat menuliskannya dengan 74 = 2401
Secara umum, an = a×a×a….×a dengan a sebanyak n kali. Artinya, kita mengalikan a secara berulang sebanyak n kali. (an dibaca “a pangkat n”).

Eksponen biasa juga disebut dengan pangkat. Pada perpangkatan an, a disebut sebagai basis bilangan pokok dan n disebut sebagai pangkat.

Sifat-Sifat Eksponen:
Eksponen bilangan bulat positif, yaitu :
am × an = am+n
Secara umum untuk mengalikan bilangan-bilangan berpangkat dengan bilangan pokok sama, jumlahkan pangkatnya saja sedangkan bilangan pokoknya tetap sama.
Misalkan : a3×a4 = (a×a×a) × (a×a×a×a) = a3+4 = a7
(am)n = amn
Untuk mencari pemangkatan dari suatu bilangan berpangkat, kalikan pangkatnya saja sedangkan bilangan pokoknya tetap sama.
Misalkan : (a5)2 = a5×2 = a10
a^m/a^n  = am-n  (m>n dan a≠0)
Untuk membagikan bilangan-bilangan berpangkat dengan bilangan pokok sama, kurangkan pangkatnya saja sedangkan bilangan pokoknya tetap sama.
Misalkan : 3^7/3^4  = 3^(7-4) = 3^3 = 27

(ab)m = am × bm
Untuk memangkatkan suatu hasil kali, pangkatkan setiap faktor dari hasil kali tersebut dengan pangkatnya.
Misalkan : (2×4)3 = 2^3×4^3=8×64= 512

(a/b)^m = a^m/b^m  (b≠0)
Untuk memangkatkan suatu hasil bagi, pangkatkan pembilang dan penyebut dari hasil bagi tersebut dengan pangkatnya.
Misalkan :(6/3)^3=6^3/3^3  = 216/27 = 8

Eksponen bulat negatif dan nol :
a0 = 1  jika a ≠ 0
misal p = 0
diperoleh :  ap × aq = ap+q = a0+q = aq
a0 × aq = 1 × aq = aq
jadi a0 = 1

a-n = 1/a^n

Eksponen rasional :
a^(m/n) = (√(n&a))^m = √(n&a^m )  jadi a^(m/n)= √(n&a^m )
(√(n&a))^n= a
√(n&ab) = √(n&a) × √(n&b)
√(n&a/b) = √(n&a)/√(n&b)
a^(1/n) = √(n&a)   (dimana n adalah bilangan bulat positif)
√(m&√(n&a)) = √(mn&a)

Fungsi Eksponen
Fungsi   basis a adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum :
f : x → ax atau y = f(x) = ax
beberapa hal yang perlu diperhatikan pada fungsi eksponen y = f(x) = ax
f(x) = ax disebut rumus atau aturan bagi fungsi eksponen beku atau fungsi eksponen standar.
a disebut bilangan pokok atau basis bagi fungsi f(x) = ax, dengan ketentuan :
A > 0 dan a ≠ 1 (0 < a < 1 atau a >1 )
peubah x dinamakan peubah bebas atau variable bebas (independent variable) dan himpunan dari semua peubah x disebut daerah asal atau domain fungsi fungsi f, ditulis: D_f = {x ǀ x ϵ R }
peubah y dinamakan peubah bergantung atau variable tak bebas (dependent variable) dan himpunan dari semua peubah y disebut daerah hasil atau wilayah hasil atau range fungsi f, ditulis: W_f = { y ǀ y > 0 dan y ϵ R }

Persamaan Eksponen
Definisi Persamaan Eksponen
Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponennya mengandung peubah x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.
Dalam pasal-pasal berikut ini dibahas beberapa macam bentuk persamaan eksponen disertai cara menentukan penyelesaian.
Bentuk a^(f(x)) = ap
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen af(x) = ap dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut.
Jika a^(f(x)) = ap (a > 0 dan a ≠ 1), maka f(x) = p

Bentuk 〖 a〗^f(x)  = a^g(x)
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen a^f(x)  = a^g(x)  dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut:
Jika a^f(x)  = a^g(x) ( a> 0 dan a ≠ 1 ), maka f(x) = g(x)

Bentuk a^f(x)  = b^f(x)
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen a^f(x)  = b^f(x) , dengan a ≠ b, dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut.
Jika a^f(x)  = b^f(x) ( a> 0 dan a ≠  1, b > 0 dan b ≠ 1, dan a ≠ b), maka f(x) = 0


Bentuk 〖{h(x)}〗^(f(x)) = 〖{h(x)}〗^(g(x))
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen 〖{h(x)}〗^(f(x)) = 〖{h(x)}〗^(g(x)) dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut.
Jika {h(x)}f(x) = {h(x)}g(x), maka kemungkinannya adalah
f(x) = g(x)
h(x) = 1
h(x) = 0, asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif
h(x) = -1,asalkan f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau f(x) dan g(x) keduanya.

Bentuk A{af(x)}2 + B{af(x) + C = 0
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen A{af(x)}2 + B{af(x) + C = 0 (a > 0 dan a ≠ 1, A, B, dan C bilangan real dan A≠ 0) dapat ditentukan dengan cara mengubah persamaan eksponen itu kedalam persamaan kuadrat.

Pertidaksamaan Eksponen
Definisi pertidaksamaan eksponen
Pertidaksamaan eksponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung peubah x, dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.

Penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen menggunakan sifat fungsi monoton naik dan sifat fungsi monoton turun pada fungsi-fungsi eksponen baku.


Sifat fungsi monoton naik (a > 1)
Jika af(X ) ≥ ag(x), maka f(x) ≥ g (x)
Jika af(x) ≤ ag(x), maka f(x) ≤ g(x)
Sifat fungsi monoton turun (0 < a < 1)
Jika af(x) ≥ ag(x), maka f(x) ≤ g(x)
Jika af(x) ≤ ag(x), maka f(x) ≥ g(x)
LOGARITMA
PENGERTIAN LOGARITMA
Misalnya a adalah bilangan positif (a > 0) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (g > 0 dan g ≠ 1). Logaritma a dengan bilangan pokok g (ditulis: glog a) adalah eksponen yang akan dimiliki oleh a jika bilangan a ini dinyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat dengan bilangan pokok g.
Ditulis :
glog a = x jika dan hanya jika a = gx
dari definisi diatas jelas bahwa a = gx dan glog a = x merupakan dua buah hubungan yang ekuivalen atau setara. Ini berarti setiap betuk bilangan berpangkat dapat diubah kebentuk logaritma, dan sebaliknya. Bentuk a = gx dinamakan bentuk eksponen sial dan bentuk glog a = x dinamakan bentuk logaritma.
Selain itu beberapa ketentuan yang harus dipahami dalam logaritma diantaranya adalah:
Bilangan pokok atau basis logaritma g ditetapkan positif dan tidak sama dengan 1 (g > 0 dan g ≠ 1).
Untuk g = 10, biasanya bilangan pokok ini tidak dituliskan, jadi log 5 yang dimaksud adalah 10log 5.
Untuk g = e ( e bilangan irasional dengan e ≅ 2.71828. . .), elog a = ln a ( dibaca: logaritma natural dari a ) yaitu logaritma dengan bilangan pokok e.
Bilangan yang dicari logaritmanya a disebut numerous, dengan a bernilai positif (a > 0)
Hasil logaritma x dapat bernilai positif ,nol, ataupun negatif.
Beberapa sifat dasar logaritma :
glog gn = n, g log g = 1, dang log 1 = 0

SIFAT-SIFAT LOGARITMA
Logaritma dari suatu hasil kali dua bilangan sama dengan jumlah kedua logaritmanya, yaitu :
alog (m×n) = alog m + alog n
bukti :
misal alog m = x dan alog n = y. sehingga, ax = m dan ay = n
dengan mengalikan ax = m dan ay = n, diperoleh
ax+y = m×n
↔ alog (m×n) = x+y = alog m + alog n [ terbukti ]
Logaritma dari suatu hasil bagi dua bilangan sama dengan selisih kedua logaritmanya, yaitu :
alogm/n = alog m – alog n
bukti :
misal alog m = x dan alog n = y. sehingga, ax = m dan ay = n
dengan membagi ax = m dengan ay = n, diperoleh
ax-y = m/n
↔  alog m/n = x – y = alog m – alog n [ terbukti ]
Logaritma dari suatu bilangan berpangkat sama dengan hasil kali dari pangkat dan bilangan tersebut, yaitu :
alogmn= n×alog m
bukti :
misal alog m = x. artinya ax = m. sehingga,
(a^x )^n = mn
↔  anx = mn
↔  alog mn = n × x = n × alog m  [ terbukti ]
aalog b = b dan 〖a^n〗_(〖log⁡b〗^m ) =  m/(n )  alog b
g log a × a log b = g log b

FUNGSI LOGARITMA
Fungsi logaritma dengan bilangan pokok a ( a> 0 dan a ≠ 1 ) adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum :
Y = f(x) = a log x
Fungsi logaritma y = f(x) = a log x merupakan fungsi invers dari fungsi eksponen y = f(x) = ax.

Beberapa hal yang perlu diperhatikan pada fungsi logaritma y = f(x) = a log x.
f(x) = a log x disebut rumus atau aturan bagi fungsi logaritma standar.
a adalah bilangan pokok atau basis bagi fungsi f(x) = a log x, dengan ketentuan :a> 0 dan a ≠ 1 (0 < a < 1 atau a > 1).
Daerah asal (domain) fungsi f(x) = a log x adalah Df = { x׀ x > 0 dan x ϵ  R }.
Wilayah hasil (range) fungsi f(x) = a log x adalahWf = {y ǀ y ϵ R}.

PERSAMAAN LOGARITMA
Definisi persamaan logaritma
Persamaan logaritma adalah persamaan yang numerusnya mengandung variable x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variable x.

Dalam pasal-pasal berikut ini akan dibahas beberapa macam bentuk persamaan logaritma disertai cara-cara menentukan penyelesaiannya.

Bentuk a log f(x) = a log p
Himpunan penyelesaian dari persamaan logritmaa log f(x) = a log p dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut.
Jika a log f(x) = a log p  maka f(x) = p asalkan f(x) > 0

Bentuk a log f(x) = b log f(x)
Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma alog f(x) = b log f(x) (dengan a ≠ b) dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut.
Jika a log f(x) = b log f(x) (dengan a ≠ b) maka f(x) = 1

Bentuk a log f(x) = a log g(x)
Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma alog f(x) = a log g(x) dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut.
Jika a log f(x) = a log g(x) makaf(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x)  keduanya positif

PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
Definisi pertidaksamaan logaritma
Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang numerusnya mengandung variable x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variable x.

Penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma menggunakan sifat fungsi monoton naik dan sifat monoton turun pada fungsi-fungsi logaritma standar. Sifat-sifat ini sebagai berikut:

Sifat fungsi logaritma monoton naik (a > 1)
Jika a log f(x) ≥ a log g(x) maka f(x) ≥ g(x) ; f(x) dan g(x) > 0
Jika a log f(x) ≤ a log g(x) maka f(x) ≤ g(x) ; f(x) dan g(x) > 0

Sifat fungsi logaritma monoton turun (0 < a < 1)
Jika a log f(x) ≥ a log g(x) maka f(x) ≤ g(x) ; f(x) dan g(x) > 0
Jika a log f(x) ≤ a log g(x) maka f(x) ≥ g(x) ; f(x) dan g(x) > 0

Share: